두 함수가 곱해진 형태를 적분해야 할 때 가장 먼저 떠올려야 하는 게 바로 부분적분이에요. 흔히 ‘uv 공식’이라고 부르는 이 방법은 치환적분만으로는 풀리지 않는 문제를 해결해주는 핵심 도구라서, 공식의 형태와 사용 시점을 정확히 알아두는 게 중요해요.
부분적분 공식의 기본 형태
부분적분의 기본 공식은 다음과 같아요. u와 v가 모두 연속 미분 가능한 함수일 때, ∫u dv = uv − ∫v du가 성립해요. 함수 표기법으로 다시 쓰면 ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) − ∫u'(x)v(x)dx로 정리할 수 있어요.
이 공식을 처음 보면 형태가 복잡해 보이지만, 핵심은 ‘적분하기 어려운 곱 함수’를 ‘적분하기 쉬운 uv 항’과 ‘상대적으로 간단해진 새로운 적분’으로 바꿔준다는 데 있어요. 즉 어려운 문제를 통째로 푸는 대신, 한쪽을 미분하고 다른 한쪽을 적분해서 문제를 더 쉬운 형태로 변형하는 전략이에요.
공식이 유도되는 원리
부분적분 공식은 곱의 미분법에서 그대로 유도돼요. 두 함수 f(x)와 g(x)의 곱을 미분하면 {f(x)g(x)}’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)가 성립하는데, 이 식의 양변을 적분하면 f(x)g(x) = ∫f'(x)g(x)dx + ∫f(x)g'(x)dx라는 관계가 나와요. 여기서 항을 정리하면 우리가 아는 부분적분 공식이 그대로 도출돼요.
이렇게 유도 과정을 이해하고 나면 공식을 단순히 암기하는 게 아니라, 곱의 미분법을 거꾸로 활용한 것뿐이라는 걸 자연스럽게 받아들일 수 있어요. 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있다는 사실을 다시 한번 확인시켜주는 대표적인 공식이기도 해요.
부분적분을 써야 하는 상황
모든 곱 함수에 부분적분을 쓰는 건 아니에요. 치환적분으로 간단히 풀리는 경우라면 굳이 부분적분을 쓸 필요가 없어요. 부분적분이 특히 유용한 대표적인 상황은 다음과 같아요.
- 대수함수와 초월함수의 곱: 예를 들어 x·e^x나 x·sin(x)처럼 다항식과 지수함수, 삼각함수가 곱해진 형태에서 자주 쓰여요.
- 로그함수가 포함된 적분: ln(x)처럼 그 자체로는 적분이 까다로운 로그함수를 다룰 때, u에 로그함수를 두고 부분적분을 적용하면 문제가 풀리는 경우가 많아요.
- 역삼각함수를 포함한 적분: arcsin(x), arctan(x) 같은 역삼각함수도 부분적분으로 접근하는 대표적인 유형이에요.
- 다항식과 삼각함수의 곱: x²·cos(x)처럼 다항식 차수가 높은 경우, 부분적분을 여러 번 반복 적용해서 풀어야 할 때도 있어요.
u와 dv를 정하는 요령
부분적분을 적용할 때 가장 헷갈리는 부분이 바로 u와 dv를 어떻게 나누느냐예요. 일반적으로는 미분했을 때 더 단순해지는 함수를 u로 두고, 적분하기 쉬운 함수를 dv로 두는 게 기본 원칙이에요. 로그함수, 역삼각함수, 다항식, 삼각함수, 지수함수 순서로 u를 우선 배정하면 대체로 계산이 수월해진다는 경험칙이 널리 알려져 있는데, 이 순서를 로그(L)·역삼각(I)·다항식(A)·삼각(T)·지수(E) 앞글자를 따서 기억하는 방법도 흔히 쓰여요.
예를 들어 ∫x·ln(x)dx를 계산한다고 하면, ln(x)를 u로, x dx를 dv로 두는 게 유리해요. ln(x)를 미분하면 1/x로 훨씬 단순해지는 반면, x는 적분해도 x²/2로 크게 복잡해지지 않기 때문이에요.
반복 적용이 필요한 경우
다항식의 차수가 높은 경우에는 부분적분을 한 번만 적용해서는 답이 나오지 않고, 여러 번 반복해야 할 때가 있어요. 예를 들어 x²·e^x를 적분한다면, 첫 번째 부분적분 후에도 남은 적분식에 여전히 다항식과 지수함수의 곱이 남아 있어서, 다시 한번 부분적분을 적용해야 최종 답을 얻을 수 있어요. 이런 경우 도표를 활용해 계산 과정을 정리하는 이른바 ‘표 형태 부분적분법’을 쓰면 반복 계산을 훨씬 빠르고 실수 없이 처리할 수 있어요.
적분 상수 처리 시 주의점
부분적분 계산 과정에서 v를 구할 때는 원칙적으로 적분 상수를 붙이지 않아요. 중간 계산에서 상수를 넣어도 최종 결과에는 영향을 주지 않지만, 계산을 복잡하게 만들 뿐이라서 관례적으로 생략해요. 대신 최종적으로 우변의 적분을 모두 마친 뒤, 부정적분이라면 맨 마지막에 적분 상수 C를 한 번만 붙여주면 돼요. 이 부분에서 실수가 잦은 만큼, 연습 문제를 풀 때 상수를 어디에 붙여야 하는지 꼼꼼히 확인하는 습관을 들이는 게 좋아요.